Nel biennio delle scuole superiori si affronta la questione delle disequazioni goniometriche. La matematica è una delle materie più difficili che un giovane studente si trova ad affrontare e le disequazioni goniometriche non sono facili da risolvere se non si ha un quadro chiaro di cosa siano e a cosa servano. La disequazioni goniometriche sono delle operazioni matematiche nelle quali l’incognita è, generalmente, un angolo “x” espresso mediante funzioni di senocosenotangente e cotangente. Risolvere una disequazione goniometrica significa determinare gli angoli che sostituiti nell’espressione data verificano la disequazione.

Es. sen 2( x) = sarà x =15° perché sen 2×15°= sen30° = ½ .

Ecco un modo facile per risolvere le disequazioni goniometriche.

Disequazioni goniometrichePer poter risolvere una disequazione complessa è necessario prima ridurla nella sua forma elementare. Questa forma di disequazione goniometrica è espressa in questo modo:

sen x > c, cos x > c, tan x > c

Ecco, quindi, come si risolve una disequazione elementare come sen x > ½. Il valore C si trova sull’asse delle ordinate poiché la funzione mancante è quella del seno e precisamente a metà del raggio della circonferenza goniometrica. Tracciando una linea parallela all’asse “x” in corrispondenza del valore richiesto, cioè ½ la nostra circonferenza sarà divisa in due differenti parti, da un lato i valori maggiori di ½ e dall’altro quelli minori di ½. I valori corrispondenti sono indicati nelle tabelle goniometriche ed appartengono agli angoli noti 30° e 150°. La soluzione sarà quindi da individuare nella porzione maggiore di circonferenza e sarà 30° < x < 150°.

Allo stesso modo si dovrà procedere per la funzione coseno e la funzione tangente.  Per il coseno si dovrà prendere in considerazione l’asse delle ascisse, il contrario di quanto fatto per il seno. Quindi nell’equazione cos x > ½, il valore ½ dovrà essere identificato sulla retta che si tracceremo parallela all’asse delle ordinate.  Per la tangente, invece, si dovrà considerare solo una semicirconferenza da 0° a 180° visto che si tratta di una funzione periodica con periodo 180° (o π).  Tenete, inoltre, presente che il valore della tangente dovrà essere calcolato su di una retta verticale condotta dall’origine all’asse x.

Un esempio: nella disequazione tan x > 1, la soluzione sarà: 45° < x < 90°, perché la tangente di 1 è pari a 45° e la parte di circonferenza da considerare è solamente quella che va da 45° (π/4) a 90°(π/2).  La parte a sinistra di 90° (π/2) individua infatti valori della funzione tangente da meno infinito a zero.

Esiste un altro metodo per risolvere le disequazioni goniometriche, trattandole, cioè, con un metodo algebrico. La disequazione verrà riscritta sotto forma di semplice equazione: sen x > ½ diventerà sen x = ½ e le soluzioni saranno 30° e 150°. Alla fine dovranno essere unite le soluzioni per trovare il risultato che sia uguale a quello trovato utilizzando il metodo precedentemente illustrato.

Ecco alcuni esempi di esercizi sulle disequazioni goniometriche con la relativa soluzione:

  • cotgx > 1

Per risolvere questa disequazione basterà conoscere il valore di cotg ed otterremo la seguete soluzione:

0 < x < ¼ π          V             π < x < 5/4 π

Nel caso non si conoscessero i valori della cotgx, bisogna utilizzare la trasformazione: cotgx = cosx / senx

  • senx (2cosenx -1) > 0

Se senx > 0 allora 0 < x < π

Se cosx > ½ allora 0 ≤ x < 1/3 π     V      5/3 π < x ≤ 2 π

Analizzando al tabella goniometrica otterremo che:

0 < x < 1/3 π       V             π < x < 5/3 π       Ʌ             x ≠ 3/2 π

  • tgx (tgx – 1) < 0

Se tgx > 0 allora 0 < x < π/2         V            π < x < 3/2 π

Se tgx > 1 allora ¼ π < x < ½ π    V             5/4 π < x < 3/2 π

Analizzando al tabella goniometrica otterremo che:

0 < x < ¼ π          V             π < x < 5/4 π